Operaciones entre conjuntos

En las matemáticas, podemos definir a un conjunto como una colección desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto de les llama elementos o miembros de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos. Se representan con una letra mayúscula y a los elementos o miembros de ese conjunto se les mete entre llaves ({,}). Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por ejemplo, teniendo un conjunto de la gente que juega al fútbol y otro de la gente que juega a baloncesto podemos hacer muchas combinaciones como el conjunto de personas que juegan a fútbol o baloncesto, las que juegan a fútbol y baloncesto, las que no juegan a baloncesto, etc. Por lo tanto vamos a ver las distintas operaciones que hay en los conjuntos:

Unión

El símbolo de esta operación es: ∪.

Sean A y B dos conjuntos, la unión de ambos (A ∪ B) es el conjunto C el cual contiene a todos los elementos pertenecientes al conjunto A y al conjunto B.

Un elemento x pertenece a la unión de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A o x pertenece al conjunto B, por lo tanto ${\displaystyle A\cup B=\{x/x\in A\lor x\in B\}}$

Intersección

El símbolo de esta operación es: ∩.

Sean A y B dos conjuntos, la intersección de ambos (A ∩ B) es el conjunto C el cual contiene los elementos que están en A y que están en B.

Un elemento x pertenece a la intersección de los conjuntos A y B si, y sólo si, x pertenece al conjunto A y x pertenece al conjunto B, por lo tanto 

Diferencia

El símbolo de esta operación es: \.

La diferencia consiste en eliminar de A todo elemento que esté en B, también se puede denotar con el símbolo de la resta A-B, por lo tanto, la diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto C que tiene a todos los elementos que están en A, pero no en B.

También se le puede llamar a la diferencia de A y B: complementario de B con respecto a A.

Por lo tanto, un elemento pertenece a la diferencia de A y B si, y sólo si ${\displaystyle \{x/x\in A\land x\not \in B\}}$

Complemento

El símbolo de esta operación es: A^∁, o también se suele representar con el símbolo A

Supongamos que U es el conjunto universal, en el cual se encuentran todos los elementos posibles, entonces el complementario de A con respecto a U se consigue restando a U todos los elementos de A. A=U-A

Por lo tanto, un elemento pertenece al complementario de A si, y sólo si ${\displaystyle A^{c}=\{x/x\in U\land x\not \in A\}}$

Diferencia simétrica

El símbolo de esta operación es: Δ.

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto el cuál posee los elementos que o bien se encuentran en A, o bien se encuentran en B, pero no en los dos a la vez. A Δ B = C, donde C no tiene elementos que estén en A y en B a la vez.

Por lo tanto, un elemento pertenece a la diferencia simétrica de A y B si, y sólo si: ${\displaystyle A}$Δ${\displaystyle B=\{x/x\in A\land x\not \in B\lor x\not \in A\land x\in B\}}$